luoguP5072 [Ynoi2015]盼君勿忘

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本来是不会去做Ynoi的毒瘤题的。。。

但是为了珂朵莉怎么都要做一下!!!

不过谁让我水平太差。。。其他的那些神仙题都不会,只能做这道了。

loj#6132. 「2017 山东三轮集训 Day1」Flair

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做过家喻户晓的小凯的疑惑的人应该会熟悉一个性质,即两种互质钱币最大不能表示的数为$ab-a-b​$。

而我们发现一个非常好的性质:$c_ic_j\le 10000(i\ne j)$

设$v=gcd(c_1,c_2,\cdots,c_m)$,则所有$\ge 10000$的$v​$的倍数都可以被表示。

这时我们只需要考虑选出的菜的数量$\%v=i​$的方案数。

设$f=(100-p)+px$,我们对这个多项式做循环卷积,得到$f^n$,$f^n_i$表示的就是在$n$道菜中随机选,选出菜的数量$\%v=i​$的方案数。

这样答案就是$\sum_{i=1}^{v-1}f^n_i(v-i)$

0112模拟赛 吃干饭

题目大意:选择$[l,r]$中的若干数异或起来(也可以不选),问答案有多少种可能。

首先此题有一个$r-l\le 10000$的部分分很显然,只要把所有数丢到线性基里就ok了。

现在我们考虑正解。

我们发现当一个数可以被比它小的数表示时,就不需要加入线性基中。接下来我们考虑减少加入线性基中的数字数量。

我们发现对于两个相邻的数,$(2n)\oplus(2n+1)=1(n\in \mathbb{N})$。

所以我们找到$[l,r]​$中的第一个偶数(设为$x​$),则从$x+3​$开始的所有奇数都可以被表示为
$$
\begin{equation}
(y-1)\oplus(x)\oplus(x+1) \
=(y-1)\oplus1 \
=y
\end{equation}
$$
其中$y$为奇数。

这样在$[l,r]$的所有奇数中,只有$x-1$和$x+1$无法被这样表示。

以此类推,所有$\%4=2$的数也都是一样的:我们先找到第一个四的倍数$x$,然后把$x-2$和$x+2$加入线性基。

这样我们最多只需要加入$64\times 2$个数就ok了。

bzoj5405 platform

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我们考虑对原串反向建后缀自动机。这样后缀自动机上的每一个点表示的就是原串上的一堆前缀。

我们发现一个性质:这些前缀的排名必定是连续的。

我们考虑证明。

bzoj5403 marshland

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看到这个数据范围,果断选择网络流。

我们发现消掉偶数点是没有意义的,所以问题可以转化为:

每消掉一个奇数点,需要消掉两个互为对角的偶数点。

我们看到每次消掉两个点,考虑可以使一个点连源点,另一个点连汇点。

所以我们的算法就是:

  • 从源点向偶数行的偶数点连边;

  • 从偶数行的偶数点向相邻奇数点连边;

  • 从奇数点向相邻奇数行的偶数点连边;
  • 从奇数行的偶数点向汇点连边。

同时为了维护费用,奇数点需要拆点。

(偶数点其实是不需要拆点的,然而我脑残了。。。)

loj#6436. 「PKUSC2018」神仙的游戏

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我们发现$f(i)=0$,当且仅当存在一对01满足01间的距离为$n-i$的倍数。这样就可以得到第4个部分分了。

我们考虑优化这个过程。

定义$A_i=[s_i=0]$,$B_i=[s_i=1]$。

现在我们想要使得

$$(A\times B)k=\sum{i-j=k}A_iB_j$$

我们考虑翻转$B$,即使得

$$B’i=B{n-i-1}$$

这样就变成

$$(A\times B’)k=\sum{n+1+i-j=k}A_iB_j$$

这样就OK了。

luoguP3321 [SDOI2015]序列统计

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定义$f$为$S$的生成函数。

则答案为

$$f^n_x$$

其中多项式卷积定义为

$$
(fg)k=\sum{ij\equiv k(mod M)}f_ig_j
$$

这个卷积比较难做。

我们发现出题人给了一个性质:$M$为质数。因此$M$必定有原根。

所以$1\cdots M-1$中的每一个数都可以被表示为原根的整次幂。

我们定义

$$g^{a_i}=i$$

$$f’i=f{a_i}$$

则卷积就变成

$$
{(f*g)k=\sum{i+j\equiv k(mod M)}f_ig_j}
$$

答案就变成
$$
{f’}^n_{a_x}
$$

0108模拟赛 无人生还

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第一问

$prufer$序列乱搞即可,

$$ans={(n-2)! \over \prod_{i=1}^{n}(d_i-1)!}$$

P4183 [USACO18JAN]Cow at Large P

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我们先考虑只求一个点时怎么做。

设$f_i$为$i$到叶结点的最短距离。

假设我们在处理$root$的答案。可以发现,

当$dis_{root,i}\ge f_i$时,$i$的子树只需要放一个人就可以“封锁”。

可以发现满足这个条件的点构成很多棵子树,而我们的答案就是子树的个数。

现在我们考虑怎么得到子树个数。

设$val_i=2-d_i$,其中$d_i$表示点$i$的度数。

我们可以发现,一棵子树的权值和正好等于$1$。

考虑为什么是这样。

设一棵子树中有$x$个点,那么有$x-1$条在子树内的边。所以贡献即为$2*x-2(x-1)=2$。因为我们求的是“子树”权值和,所以必有一条连出去的边。这样贡献即为$2-1=1$。

所以我们只要对于$dis_{i,j}\ge f_j$,将$ans_i$加上$2-d_j$即可。

这样复杂度是$O(n^2)$的。

考虑点分治。则对于$i$,满足条件的$j$满足$dis_i+dis_j\ge f_j$。

移项一下,得到$dis_i\ge f_j-dis_j$。后面那个东西用树状数组维护一下即可。

bzoj4179 2015湖南省队集训 B

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我们首先考虑对给出的字符串建$AC$自动机。

考虑$AC$自动机上找子串的过程,我们发现一个点可以被达到当且仅当该点沿着$fail$向上走没有一个点是一个字符串的终点,且沿着$fa$向上走也没有。

我们把这些点挑出来,从$1$开始跑最长路。如果发现存在正环即必定有解,否则判断最长路是否$\ge L$。

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